Question

1．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=n（$\frac{4}{5}$）ⁿ，
（1）判斷數(shù)列{a_n}的單調(diào)性；
（2）是否存在最小正整數(shù)k，使得a_n＜k對(duì)任意的n∈N^*都成立，若存在，求出k的值，若不在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由作商法，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{4-n}{5n}$，再與1比較，即可得到所求單調(diào)性；
（2）由（1）可得數(shù)列{a_n}先增后減，且a₄=a₅取得最大值，可得k的范圍，進(jìn)而得到k的最小正整數(shù)．

解答 解：（1）a_n=n（$\frac{4}{5}$）ⁿ，即有a_n+1=（n+1）（$\frac{4}{5}$）ⁿ⁺¹，
由$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{4（n+1）}{5n}$，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$-1=$\frac{4-n}{5n}$，
可得當(dāng)1≤n≤3時(shí)，a₁＜a₂＜a₃＜a₄，
n=4時(shí)，a₄=a₅，
當(dāng)n＞4，n∈N時(shí)，a₅＞a₆＞…＞a_n＞…；
（2）由（1）可得數(shù)列{a_n}先增后減，
且a₄=a₅取得最大值，且為$\frac{1024}{625}$．
則a_n＜k對(duì)任意的n∈N^*都成立，即為k＞$\frac{1024}{625}$．
故存在最小正整數(shù)k，且為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的單調(diào)性的判斷，注意運(yùn)用作商法，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用數(shù)列的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．