Question

19．如圖，PC切⊙O于點C，割線PAB經(jīng)過圓心D，作∠BPC的平分線交CB于點D．
（1）求證：CD=CE．
（2）若PA=2，PC=5，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）利用圓的切線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，證明∠CDE=∠CED，即可證明：CD=CE．
（2）利用切割線定理，結(jié)合條件證明△PCA∽△PBC，利用勾股定理，求AC的長．

解答 （1）證明：∵PC是⊙O的切線，∴∠PCE=∠B，
∵PD平分∠BPC，∴∠CPD=∠BPD，
∵∠CDE=∠B+∠BPD，∠CED=∠PCE+∠CPD，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE．    …（5分）
（2）∵PC是切線，∴PC²=PA•PB，
∵PA=2，PC=4，∴PB=8，
∴AB=6，
∵∠PCA=∠B，∠APC=∠CPB，
∴△PCA∽△PBC，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{PA}{PC}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)AC=x，則BC=2x，
∵AB是直徑，∴∠ACB=90°．
根據(jù)勾股定理可得AB=$\sqrt{5}$x，
∴$\sqrt{5}$x=6，∴x=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，即AC=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，…（10分）

點評 本題考查圓的切線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，考查切割線定理，三角形相似的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．