Question

16．已知數(shù)列{a_n}的各項為正值且首項為1，a₂=2，S_n為其前n項和．函數(shù)f（x）=a_n•a_n+2x+a²_n+1cosx在x=$\frac{π}{2}$處的切線平行于x軸．
（1）求a_n和S_n．
（2）設(shè)b_n=log₂a_n+1，數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項和為T_n，求證：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程關(guān)系，判斷數(shù)列為等比數(shù)列，求出公比即可求a_n和S_n．
（2）求出b_n=log₂a_n+1的表達式，利用裂項法進行求和，即可證明不等式．

解答 解：（1）由f（x）=a_n•a_n+2x+a²_n+1cosx知f′（x）=a_n•a_n+2-a²_n+1sinx，
∵f（x）=a_n•a_n+2x+a²_n+1cosx在x=$\frac{π}{2}$處的切線平行于x軸，
∴f′（$\frac{π}{2}$）=0，
即a_n•a_n+2-a²_n+1sin$\frac{π}{2}$=a_n•a_n+2-a²_n+1=0，
即a_n•a_n+2=a²_n+1，
∴{a_n}是等比數(shù)列，公比q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=2$，
∴a_n=a₁q^n-1=2^n-1，${S}_{n}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}=\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，
（2）由（1）知a_n+1=2ⁿ，
∴b_n=log₂a_n+1=log₂2ⁿ=n．
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
∴T_n=$1-\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+$$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1，

點評 本題主要考查數(shù)列通項公式和前n項和的計算，以及數(shù)列求和，利用裂項法是解決本題的關(guān)鍵．