Question

8．如圖，已知邊長為2的菱形ABCD與菱形ACEF全等，且∠FAC=∠ABC，平面ABCD⊥平面ACEF，點G為CE的中點．
（Ⅰ）求證：AE∥平面DBG；
（Ⅱ）求證：FC⊥BG；
（Ⅲ）求三棱錐E-BGD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AE∥平面DBG，可利用線面平行的判斷，連結OG，由題意證明OG為三角形△ACE的中位線，則結論得到證明；
（Ⅱ）要證明FC⊥BG，可證明CF⊥平面BGD，由四邊形ABCD是菱形，得AC⊥BD．再由平面ABCD⊥平面ACEF，利用面面垂直的性質得到BD⊥平面ACEF，進一步得到BD⊥CF，然后結合線面垂直的判斷證得CF⊥平面BGD；
（Ⅲ）由題知，AB=BC=AC=2，故∠ABC=60°，然后通過解三角形得到△FCA是等邊三角形，得到$CF=2，AE=2\sqrt{3}$，進一步得到S_△BGD，再求出點C到面BDG的距離，利用等積法由V_E-BDG=V_A-BDG=V_C-BDG得答案．

解答 （Ⅰ）證明：連結OG，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CO=OA，又CG=GE，
∴OG為三角形△ACE的中位線，則OG∥AE．
又OG?平面DBE，AE?平面DBE，∴AE∥平面DBE；
（Ⅱ）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
又平面ABCD⊥平面ACEF，且交線為AC，∴BD⊥平面ACEF，
又∵FC?平面ACEF，∴BD⊥CF
∵在菱形ACEF中，AE⊥CF，OG∥AE，∴OG⊥CF，
∵BD∩OG=O，BD，OG?平面BGD，∴CF⊥平面BGD，則CF⊥BG；
（Ⅲ）解：由題知，AB=BC=AC=2，故∠ABC=60°，
在三角形DAB中，AD=AB=2，∠DAB=120°，∴BD=$2\sqrt{3}$．
又∠ABC=∠FAC，∴∠FAC=60°，則△FCA是等邊三角形，
∴$CF=2，AE=2\sqrt{3}$，
∴${S_{△BDG}}=\frac{1}{2}BD•OG=3$，
又CF⊥面BDG，∴點C到面BDG的距離$h=\frac{1}{4}CF=\frac{1}{2}$，
故${V_{E-BDG}}={V_{A-BDG}}={V_{C-BDG}}=\frac{1}{3}{S_{△BDG}}•h=\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查空間線面關系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結合、化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．