Question

4．等差數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前n項和為S_n，滿足2S₂=a₂（a₂+1），且a₁=1，則$\frac{2{S}_{n}+13}{n}$的最小值是$\frac{33}{4}$．

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列的前n項和公式和通項公式求出公差d=1，從而S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，進而$\frac{2{S}_{n}+13}{n}$=n+$\frac{13}{n}+1$，由此能求出$\frac{2{S}_{n}+13}{n}$的最小值．

解答 解：∵等差數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前n項和為S_n，滿足2S₂=a₂（a₂+1），且a₁=1，
∴2（1+1+d）=（1+d）（1+1+d），
解得d=1，∴S_n=$n+\frac{n（n-1）}{2}×1$=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{2{S}_{n}+13}{n}$=$\frac{{n}^{2}+n+13}{n}$=n+$\frac{13}{n}+1$≥2$\sqrt{n×\frac{13}{n}}$+1=2$\sqrt{13}$+1，
∴n=4時，$\frac{2{S}_{n}+13}{n}$取最小值$\frac{33}{4}$．
故答案為：$\frac{33}{4}$．

點評 本題考查代數(shù)式的最小值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．