Question

16．如圖，某房地產(chǎn)公司要在一塊矩形寬闊地面上開發(fā)物業(yè)，陰影部分是不能開發(fā)的古建筑群，且要求用在一條直線上的欄柵進行隔離，古建筑群的邊界為曲線y=1-$\frac{4}{3}$x²的一部分，欄柵與矩形區(qū)域邊界交于點M、N，則當能開發(fā)的面積達到最大時，OM的長為1．

Answer 1

分析 先設切點的坐標，并運用導數(shù)得出切線方程，再求出直線的橫縱截距，最后運用基本不等式最最值．

解答 解：根據(jù)題意，當開發(fā)面積最大值時，三角形OMN的面積就最小，
設MN與曲線y=1-$\frac{4}{3}x^2$相切于點T（m，1-$\frac{4}{3}$m²），m∈（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
對函數(shù)線y=1-$\frac{4}{3}x^2$求導得，y'=-$\frac{8}{3}x$，
所以，切線MN的斜率k_MN=-$\frac{8}{3}m$，
直線MN的方程為：y-（1-$\frac{4}{3}$m²）=-$\frac{8}{3}m$（x-m），
令y=0得，x_M=$\frac{4m^2+3}{8m}$，令x=0得，y_N=$\frac{4m^2+3}{3}$，
S_△MON=$\frac{1}{2}$×$\frac{4m^2+3}{8m}$×$\frac{4m^2+3}{3}$
=$\frac{1}{48}$[16m³+24m+$\frac{9}{m}$]
=$\frac{1}{48}$[（16m³+$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{m}$）+6（4m+$\frac{1}{m}$）]
≥$\frac{1}{48}$[4•$\root{4}{16}$+6•2•$\sqrt{4}$]=$\frac{32}{48}$=$\frac{2}{3}$，
當且僅當：16m³=$\frac{1}{m}$且4m=$\frac{1}{m}$，解得m=$\frac{1}{2}$，
即三角形MON面積的最小值為$\frac{2}{3}$，
此時，OM=$\frac{4m^2+3}{8m}$=1．
故答案為：1．
說明：本題也可以運用導數(shù)研究三角形MON面積的最小值．

點評 本題主要考查了基本不等式在求最值問題中的應用，構造出合理的結(jié)構使得基本不等式能同時取得最值是解決本題的關鍵，屬于中檔題．