Question

6．設(shè)變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{x+3y≤4}\\{x≥-2}\end{array}\right.$．
（1）求z=|x-3y|的最大值；
（2）求u=x²+y²的最大值與最小值；
（3）求v=$\frac{y}{x-2}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)z=|x-3y|，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=x-3y過可行域內(nèi)的點A時，從而得到z=|x-3y|的最大值即可．
（2）由約束條件作出可行域，由u=x²+y²的幾何意義，即原點O（0，0）到直線3x+4y-5=0的距離求得答案．
（3）作出平面區(qū)域，將目標函數(shù)z=$\frac{y}{x-2}$看成直線斜率的即可．

解答 解：（1）依題意，畫出$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ x+3y≤4\\ x≥-2\end{array}\right.$的可行域（如圖示），
則對于目標函數(shù)z=x-3y，
當直線經(jīng)過A（-2，2）時，
z=|x-3y|，取到最大值，Z_max=8．
（2）由約束條件$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ x+3y≤4\\ x≥-2\end{array}\right.$的作出可行域如圖，

由圖可知，u=x²+y²的幾何意義為可行域內(nèi)的點與原點O（0，0）的距離的平方，顯然最小值為0．
最大值為BO²或AO²，A（-2，2）或B（-2，-2），可得最大值為：2²+2²=8．
（3）解：其平面區(qū)域如下圖：

目標函數(shù)z=$\frac{y}{x-2}$，
可看成過陰影內(nèi)的點（x，y）與點P（2，0）的直線的斜率k，
∵K_PC≤k≤K_PB，
∴K_PB=$\frac{0+2}{2+2}$=$\frac{1}{2}$，K_PC=$\frac{1-0}{1-2}$=-1．
v∈[$-1，\frac{1}{2}$]．

點評 本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．目標函數(shù)有唯一最優(yōu)解是我們最常見的問題，這類問題一般要分三步：畫出可行域、求出關(guān)鍵點、定出最優(yōu)解．