Question

11．f'（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)，f''（x）是函數(shù)f'（x）的導函數(shù)．對于三次函數(shù)y=f（x），若方程f''（x₀）=0，則點（$\begin{array}{l}{{x_0}，f（{x_0}）}\end{array}$）即為函數(shù)y=f（x）圖象的對稱中心．設函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+3x-\frac{5}{12}$，則f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2}{2017}$）+f（$\frac{3}{2017}$）+…+f（$\frac{2016}{2017}$）=（　　）

• A． 1008
• B． 2014
• C． 2015
• D． 2016

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得函數(shù)f（x）的對稱中心，得到f（1-x）+f（x）=2，即可得出．

解答 解：依題意，得：f′（x）=x²-x+3，∴f″（x）=2x-1．
由f″（x）=0，即2x-1=0．
∴x=$\frac{1}{2}$，
∴f（$\frac{1}{2}$）=1，
∴f（x）的對稱中心為（$\frac{1}{2}$，1）
∴f（1-x）+f（x）=2，
∴f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2}{2017}$）+f（$\frac{3}{2017}$）+…+f（$\frac{2016}{2017}$）=2016．
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)與導數(shù)等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，考查化簡計算能力，函數(shù)的對稱性的應用，屬于中檔題．