Question

6．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=$\frac{2}{1+{2}^{x}}$-1．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷并證明f（x）的單調(diào)性；
（3）若f（2-t²）+f（t）＜0，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）的定義域為R，驗證f（-x）=-f（x），即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）利用f′（x）=$\frac{-{2}^{x+1}ln2}{（1+{2}^{x}）^{2}}$＜0，判斷并證明f（x）的單調(diào)性；
（3）根據(jù)函數(shù)f（x）在定義域R上既為奇函數(shù)又為減函數(shù)，f（2-t²）+f（t）＜0，可得t²-t-2＜0，即可求實數(shù)t的取值范圍．

解答 解：（1）因為函數(shù)f（x）的定義域為R，
f（-x）=$\frac{2}{1+{2}^{-x}}$-1=1-$\frac{2}{1+{2}^{x}}$=-（$\frac{2}{1+{2}^{x}}$-1）=-f（x），
即f（-x）=-f（x），所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．…（4分）
（Ⅱ）因為f′（x）=$\frac{-{2}^{x+1}ln2}{（1+{2}^{x}）^{2}}$＜0，…（7分）
所以f（x）為R上的單調(diào)遞減函數(shù)．…（8分）
（Ⅲ）因為函數(shù)f（x）在定義域R上既為奇函數(shù)又為減函數(shù)，
f（2-t²）+f（t）＜0，
即f（2-t²）＜-f（t）=f（-t），…（10分）
所以2-t²＞-t，即t²-t-2＜0，解得-1＜t＜2．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查學生解不等式的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．