Question

15．如圖，正四棱錐S-ABCD中，SA=AB=2，E，F(xiàn)，G分別為BC，SC，CD的中點(diǎn)．設(shè)P為線段FG上任意一點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EP⊥AC；
（Ⅱ）當(dāng)P為線段FG的中點(diǎn)時，求直線BP與平面EFG所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用線線垂直的轉(zhuǎn)換關(guān)系三角形的中位線定理，得到線線垂直和線線平行，再轉(zhuǎn)化為線面垂直，最后轉(zhuǎn)化為線線垂直．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的部分結(jié)論，首先找到直線與平面之間的夾角，再利用解直角三角形知識求出結(jié)果．

解答 證明：（Ⅰ）連接AC交BD于O，
由于：S-ABCD是正四棱錐，
則：SO⊥平面ABCD，
所以：SO⊥AC，
由于：AC⊥BD，
所以：AC⊥平面SBD，
則：AC⊥SD，
由于：BD⊥AC，
所以：AC⊥平面SBD，
則：AC⊥SD，
F，G分別為SC，CD的中點(diǎn)，
所以：SD∥FG，
所以：AC⊥GF，
由于：AC⊥GE，
所以：AC⊥平面GEF，
又：PE?平面GEF，
所以：EP⊥AC．
（Ⅱ）過B作BH⊥GE于點(diǎn)H，連接PH，
由于：BD⊥AC，
BD∥GF，
所以：BH∥AC，
由（Ⅰ）知：AC⊥平面GEF，
則：BH⊥平面GEF，
所以：∠BPH就是直線BP與平面EFG所成的角．
由于：SA=AB=2，
所以在Rt△BHP中，解得：BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，PH=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，PB=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
則：cos∠BPH=$\frac{PH}{PB}=\frac{\sqrt{195}}{15}$．

點(diǎn)評 本題考查的知識要點(diǎn)：線面垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，線面垂直與線線垂直間的轉(zhuǎn)化，線面的夾角的應(yīng)用，及相關(guān)的運(yùn)算問題．主要考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算能力．