Question

4．已知函數(shù)f（x）=e^-x（ax²+bx+1）（其中e是常數(shù)，a＞0，b∈R），函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且f′（-1）=0．
（1）若a=1，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）當(dāng)a＞$\frac{1}{5}$時，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值為4e，試求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，f′（-1）=0．可得b=2，求得切線的斜率，切點坐標(biāo)，即可得到所求切線的方程；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，求得1+3a=2b，解方程f′（x）=0，可得x=-1，或x=$\frac{3a-1}{2a}$，討論當(dāng)-1＜$\frac{3a-1}{2a}$≤1，當(dāng)$\frac{3a-1}{2a}$＞1，判斷單調(diào)性，求得最大值，解方程可得a，b的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=e^-x（x²+bx+1），
導(dǎo)數(shù)f′（x）=-e^-x（x²+bx+1）+e^-x（2x+b），
由f′（-1）=0，可得-e（2-b）+e（b-2）=0，解得b=2，
即有f′（x）=e^-x（1-x²），
在點（0，f（0））處的切線斜率為1，
切點為（0，1），
則在點（0，f（0））處的切線方程為y=x+1；
（2）f′（x）=-e^-x（ax²+bx+1）+e^-x（2ax+b），
由f′（-1）=0，可得-e（a-b+1）+e（b-2a）=0，
即有1+3a=2b，
則f′（x）=-$\frac{1}{2}$e^-x[2ax²-（a-1）x-（3a-1）]
=-$\frac{1}{2}$e^-x[2ax-（3a-1）]（x+1），
由f′（x）=0，可得x=-1，或x=$\frac{3a-1}{2a}$，
當(dāng)-1＜$\frac{3a-1}{2a}$≤1，即$\frac{1}{5}$＜a≤1時，x=$\frac{3a-1}{2a}$時，取得最大值4e，
即有${e}^{-\frac{3a-1}{2a}}$（a（$\frac{3a-1}{2a}$）²+$\frac{3a+1}{2}$•（$\frac{3a-1}{2a}$）+1）=4e，
由$\frac{1}{e}$≤${e}^{-\frac{3a-1}{2a}}$＜e，a（$\frac{3a-1}{2a}$）²+$\frac{3a+1}{2}$•（$\frac{3a-1}{2a}$）+1=$\frac{9a-1}{2}$∈（$\frac{2}{5}$，4），
則${e}^{-\frac{3a-1}{2a}}$（a（$\frac{3a-1}{2a}$）²+$\frac{3a+1}{2}$•（$\frac{3a-1}{2a}$）+1）＜4e，故方程無解；
當(dāng)$\frac{3a-1}{2a}$＞1，即a＞1時，[-1，1]遞增，x=1時，取得最大值4e，
即有e^-1（a+b+1）=4e，結(jié)合1+3a=2b，解得a=$\frac{24{e}^{2}-9}{15}$，b=$\frac{12{e}^{2}-2}{5}$．
綜上可得a=$\frac{8{e}^{2}-3}{5}$，b=$\frac{12{e}^{2}-2}{5}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和函數(shù)的最值，考查分類討論的思想方法和運算求解能力，屬于中檔題．