Question

19．設(shè)m＞1，在線性約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{y≤mx}\\{x+y≤1}\end{array}\right.$下，目標(biāo)函數(shù)z=x+5y的最大值為4，則m的值為3．此時，約束條件下的平面區(qū)域的面積為$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)z=x+5y的最大值為4求得m值，可行域?yàn)槿�角形，求出A、B的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式求出原點(diǎn)O到AB所在直線距離，代入三角形面積公式得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{y≤mx}\\{x+y≤1}\end{array}\right.$下作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=mx}\\{x+y=1}\end{array}\right.$，解得B（$\frac{1}{m+1}，\frac{m}{m+1}$），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y=1}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$）．
化目標(biāo)函數(shù)z=x+5y為$y=-\frac{x}{5}+\frac{z}{5}$，
由圖可知，當(dāng)直線$y=-\frac{x}{5}+\frac{z}{5}$過B（$\frac{1}{m+1}，\frac{m}{m+1}$）時直線在y軸上的截距最大，
z有最大值為$\frac{5m+1}{m+1}=4$，即m=3；
此時B（$\frac{1}{4}，\frac{3}{4}$），|AB|=$\sqrt{（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）^{2}+（\frac{1}{2}-\frac{3}{4}）^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$．
原點(diǎn)O到直線x+y-1=0的距離為d=$\frac{|-1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴可行域的面積為S=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{4}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{8}$．
故答案為：3，$\frac{1}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查了線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．