Question

1．已知定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
（1）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]上是單調(diào)遞減函數(shù)；
（2）若f（log_0.5x）＞f（log_0.57），求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化證明即可．
（2）利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．

解答 證明：（1）設(shè)x₁＜x₂≤0，
則-x₁＞-x₂≥0，
∵定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
∴f（-x₁）＞f（-x₂），
即f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]上是單調(diào)遞減函數(shù)；
（2）若f（log_0.5x）＞f（log_0.57），
則等價(jià)為f（|log_0.5x|）＞f（|log_0.57|），
即|log_0.5x|＞|log_0.57|=-log_0.57，
則log_0.5x＞-log_0.57或log_0.5x＜log_0.57，
即0＜x＜$\frac{1}{7}$或x＞7，
即不等式的解集為（0，$\frac{1}{7}$）∪（7，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的證明和應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．