Question

11．如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求證：AC₁⊥B₁C；
（2）求證：AC₁⊥CB₁D₁．

Answer 1

分析 （1）以為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此能證明AC₁⊥B₁C．
（2）利用向量法推導(dǎo)出AC₁⊥CD₁，AC₁⊥B₁C，由此能證明AC₁⊥面CB₁D₁．

解答 證明：（1）以為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（1，0，0），C₁（0，1，1），B₁（1，1，1），C（0，1，0），
$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-1，1，1），$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-1，0，-1），
$\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}C}$=1+0-1=0，
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}⊥\overrightarrow{{B}_{1}C}$，∴AC₁⊥B₁C．
（2）D₁（0，0，1），$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=（0，-1，1），
$\overrightarrow{A{C}_{1}}$•$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=0-1+1=0，
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$⊥$\overrightarrow{C{D}_{1}}$，∴AC₁⊥CD₁，
∵AC₁⊥B₁C，B₁C∩CD₁，
∴AC₁⊥面CB₁D₁．

點評 本題考查線線垂直、線面垂直的證明，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．