Question

2．中國石油化工集團公司（sinopec）通過與安哥拉國家石油公司設(shè)立的合資公司合資，獲得安哥拉深海油田18區(qū)塊，在某地區(qū)初步勘探時期已零散地鉆探了口井，取得了地質(zhì)資料．進入系統(tǒng)勘探時期后，要在一個區(qū)域內(nèi)按縱橫等距的網(wǎng)格點來布置井位，進行全面鉆探．由于鉆一口井的費用很高，如果新設(shè)計的井位與原有井位重合或相當(dāng)接近，便可利用舊井的地質(zhì)資料，不必打這口新井．因此，鉆探要遵循盡量利用舊井，少打新井，以節(jié)約鉆探費用．勘探初期數(shù)據(jù)資料見下表：

（x，y）（坐標(biāo)單位：km）	1（2，30）	2（4，40）	3（5，60）	4（6，50）	5（8，70）	6（1，y）
鉆探深度（km）	2	4	5	6	8	10
出油量（L）	40	70	110	90	160	205

在I（x，y）中I代表井號，x，y代表井所在區(qū)塊的坐標(biāo)．
參看公式b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=y-$\stackrel{∧}$x．
（1）若1～6號舊井位置滿足線性分布，請利用前5組數(shù)據(jù)求出回歸直線方程，并求出y的值；
（2）現(xiàn)準(zhǔn)備打新井7（1，25），若通過1、3、5、7號井計算出的$\stackrel{∧}$，$\stackrel{∧}{a}$的值與（1）中的b，c的值差不超過10%，則使用位置最接近的已有舊井6（1，y），否則在新位置打井，請判斷可否使用舊井；
（3）設(shè)出油量與鉆探深度的比值k不低于20的勘探井稱為優(yōu)質(zhì)井，那么在原有6口井中任意勘察4口井，去勘察優(yōu)質(zhì)井?dāng)?shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）利用前5組數(shù)據(jù)得到$\overline{x}$，$\overline{y}$，由回歸直線方程必過平衡點（$\overline{x}$，$\overline{y}$），能求出y．
（2）分別求出$\widehat$，$\widehat{a}$，a，b，從而得到$\frac{\widehat-b}≈5%$，$\frac{\widehat{a}-a}{a}≈8%$，均不超過10%，由此能求出結(jié)果．
（3）由題意勘察優(yōu)質(zhì)井?dāng)?shù)X的可能取值為2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）利用前5組數(shù)據(jù)得到$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（2+4+5+6+8）=5，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（30+40+60+50+70）=50，
∵回歸直線方程必過平衡點（$\overline{x}$，$\overline{y}$），
∴a=$\overline{y}-b\overline{x}$=50-6.5×5=17.5，
∴回歸直線方程為y=6.5x+17.5，
當(dāng)x=1時，y=6.5+17.5=24，
∴y的預(yù)報值為24．
（2）∵$\overline{x}=4，\overline{y}=46.25$，$\sum_{i=1}^{4}{{x}_{2i-1}}^{2}$=94，$\sum_{i=1}^{4}{x}_{2i-1}{y}_{2i-1}$=945，
∴$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{4}{x}_{2i-1}{y}_{2i-1}-4\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{4}{{x}_{2i-1}}^{2}-4{\overline{x}}^{2}}$$\frac{945-4×4×46.25}{94-4×{4}^{2}}$≈6.83，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=46.25-6.83×4=18.93，
即$\widehat$=6.83，$\widehat{a}$=18.93，b=6.85，a=17.5，
$\frac{\widehat-b}≈5%$，$\frac{\widehat{a}-a}{a}≈8%$，均不超過10%，
∴使用位置最接近的已有舊井6（1，24）．
（3）由題意，1、3、5、6這4口井是優(yōu)質(zhì)井，2，4這兩口井是非優(yōu)質(zhì)井，
∴勘察優(yōu)質(zhì)井?dāng)?shù)X的可能取值為2，3，4，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{4}}$=$\frac{2}{5}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{4}}$=$\frac{8}{15}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{4}^{4}{C}_{2}^{0}}{{C}_{6}^{4}}$=$\frac{1}{15}$，
∴X的分布列為：

X	2	3	4
P	$\frac{2}{5}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

EX=$2×\frac{2}{5}+3×\frac{8}{15}+4×\frac{1}{15}$=$\frac{8}{3}$．

點評 本題考查線性回歸方程的應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運用．