Question

20．解關于x的不等式：mx²-（4m+1）x+4＞0（m∈R）

Answer 1

分析 分別討論m=0、m＞0和m＜0時，對應不等式解集的情況，即可求出解集．

解答 解：當m=0時，不等式化為-x+4＞0，解得x＜4；
當m＜0時，不等式化為（mx-1）（x-4）＞0，
即（x-$\frac{1}{m}$）（x-4）＜0，
解得$\frac{1}{m}$＜x＜4；
當m＞0時，不等式化為（x-$\frac{1}{m}$）（x-4）＞0，
令$\frac{1}{m}$=4，解得m=$\frac{1}{4}$，
此時原不等式化為（x-4）²＞0，
解得x≠4；
當$\frac{1}{m}$＜4，即m＞$\frac{1}{4}$時，
解不等式得x＜$\frac{1}{m}$或x＞4；
當$\frac{1}{m}$＞4，即0＜m＜$\frac{1}{4}$時，
解不等式得x＜4或x＞$\frac{1}{4}$；
綜上，m=0時，不等式的解集是{x|x＜4}；
m＜0時，不等式的解集是{x|$\frac{1}{m}$＜x＜4}；
0＜m＜$\frac{1}{4}$時，不等式的解集是{x|x＜4或x＞$\frac{1}{m}$}；
m=$\frac{1}{4}$時，不等式的解集是{x|x≠4}；
m＞$\frac{1}{4}$時，不等式的解集是{x|x＜$\frac{1}{m}$或x＞4}．

點評 本題考查了含有字母系數(shù)的不等式的解法與應用問題，解題時應對字母系數(shù)進行分類討論，是中檔題．