Question

20．某工廠新研發(fā)的一種產(chǎn)品的成本價(jià)是4元/件，為了對該產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如表6組數(shù)據(jù)：

單價(jià)x（元）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
銷量y（件）	90	84	83	80	75	68

（Ⅰ）若90≤x+y＜100，就說產(chǎn)品“定價(jià)合理”，現(xiàn)從這6組數(shù)據(jù)中任意抽取2組數(shù)據(jù)，2組數(shù)據(jù)中“定價(jià)合理”的個(gè)數(shù)記為X，求X的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）求y關(guān)于x的線性回歸方程，并用回歸方程預(yù)測在今后的銷售中，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？（利潤L=銷售收入-成本）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知X取值為0，1，2，分別求得P（X=0），P（X=1）及P（X=2），列出分布列，求得X的數(shù)學(xué)期望E（X）；
（2）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，做出變量x，y的平均數(shù)，根據(jù)最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)b，在根據(jù)樣本中心點(diǎn)一定在線性回歸直線上，求出a的值，求得線性回歸方程，由利潤公式求得L=-20x²+330x-1000，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得x=8.25，利潤最大．

解答 解：（Ⅰ）X取值為0，1，2．使90≤x+y＜100的有3組，
∴P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{3}^{2}}$=$\frac{1}{5}$．
X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

數(shù)學(xué)期望為E（X）=0×$\frac{1}{5}$+1×$\frac{3}{5}$+2×$\frac{1}{5}$=1．…（6分）
（Ⅱ）因?yàn)?\overline{x}$=8.5，$\overline{y}$=80，$\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$=0.7，$\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）$=-14．
∴$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{-14}{0.7}$-20，$\widehat{a}=\overline{y}-\widehat\overline{x}$=250，
y關(guān)于x的線性回歸方程是y=-20x+250；
利潤L=x（-20x+250）-4（-20x+250）=-20x²+330x-1000，
當(dāng)x=-$\frac{330}{2×（-20）}$=8.25時(shí)，取最大值361.25．
故當(dāng)單價(jià)定為8.25元時(shí)，工廠可獲得最大利潤．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查回歸分析，離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．