Question

8．已知a，b為正實數(shù)，且$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=1，若a+b-c≥0對于滿足條件的a，b恒成立，則c的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，3+$\sqrt{2}}$]
• B． （-∞，3+2$\sqrt{2}}$]
• C． （-∞，3+4$\sqrt{2}}$]
• D． （-∞，3+3$\sqrt{2}}$]

Answer 1

分析 利用基本不等式可求出a+b的最小值（a+b）_min，要使a+b-c≥0對于滿足條件的a，b恒成立，只要值（a+b）_min-c≥0即可．

解答 解：a，b都是正實數(shù)，且a，b滿足$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=1①，
則a+b=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$）=（3+$\frac{a}$+$\frac{2a}$）≥（3+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{2a}}$）=3+2$\sqrt{2}$，
當且僅當$\frac{a}$=$\frac{2a}$即b=$\sqrt{2}$a②時，等號成立．
聯(lián)立①②解得a=$\sqrt{2}$+1，b=2+$\sqrt{2}$，故a+b的最小值為3+2$\sqrt{2}$，
要使a+b-c≥0恒成立，只要3+2$\sqrt{2}$-c≥0，即c≤3+2$\sqrt{2}$，
故c的取值范圍為（-∞，3+2$\sqrt{2}$]．
故選：B．

點評 本題主要考查基本不等式的應用，注意基本不等式的使用條件：一正、二定、三相等，以及函數(shù)的恒成立問題．