Question

12．已知：1=1，1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16…
（1）歸納1+3+5+…+（2n-1）=？
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）歸納得到1+3+5+…+（2n-1）=n²，
（2）首先證明當(dāng)n=1時(shí)等式成立，再假設(shè)n=k時(shí)等式成立，得到等式1+3+5+…+（2k-1）=k²，下面證明當(dāng)n=k+1時(shí)等式左邊=1+3+5+…+（2k-1）+（2k+1），根據(jù)前面的假設(shè)化簡即可得到結(jié)果，最后得到結(jié)論．

解答 解：（1）：1+3+5+…+（2n-1）=n²，
（2）證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，
∴左邊=右邊
②假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即1+3+5+…+（2k-1）=k²
當(dāng)n=k+1時(shí)，等式左邊=1+3+5+…+（2k-1）+（2k+1）=k²+（2k+1）=（k+1）²．
綜上①②可知1+3+5+…+（2n-1）=n²對于任意的正整數(shù)成立．

點(diǎn)評 本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立，用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的步驟是：第一步驗(yàn)證當(dāng)n=n₀時(shí)命題成立，第二步假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，那么再證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．本題解題的關(guān)鍵是利用第二步假設(shè)中結(jié)論證明當(dāng)n=k+1時(shí)成立，本題是一個(gè)中檔題目．