Question

6．三棱錐S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=$\sqrt{13}$，SB=$\sqrt{29}$，
（1）證明：SC⊥BC；
（2）求三棱錐的體積V_S-ABC．

Answer 1

分析 （1）利用SA⊥平面ABC，根據(jù)三垂線定理，可得SC⊥AC．
（2）求三棱錐S-ABC的體積，由題設(shè)條件得，棱錐的高是SA，底面是直角三角形，體積易求．

解答 （1）證明：∵∠SAB=∠SAC=90°
∴SA⊥AB，SA⊥AC，
又AB∩AC=A，
∴SA⊥平面ABC…（4分）
∴SA⊥BC…（5分）
又∠ACB=90°，∴AC⊥BC
∴BC⊥平面SAC…（7分）
∴SC⊥BC              …（8分）
（2）解：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=$\sqrt{13}$，∴AB=$\sqrt{17}$…（10分）
又在△SAB中，SA⊥AB，AB=$\sqrt{17}$，SB=$\sqrt{29}$，∴SA=2$\sqrt{3}$…（12分）
又SA⊥平面ABC，∴V_S-ABC=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×2×\sqrt{13}）×2\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{39}}{3}$…（…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題以三棱錐為載體，考查線線垂直，考查幾何體的體積，關(guān)鍵是正確運(yùn)用線面垂直的判定．