Question

18．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D、E、F分別為AC、AB、AP的中點，M、N分別為線段PC、PB上的動點，且有MN⊥PC．
（Ⅰ）求證：DE∥平面FMN；
（Ⅱ）若M是PC的中點，證明：平面FMN⊥平面DMN．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明BC∥MN，DE∥BC，可得DE∥MN，利用線面平行的判定定理證明DE∥平面FMN；
（Ⅱ）證明FM⊥MD，F(xiàn)M⊥MN，可得FM⊥平面DMN，即可證明：平面FMN⊥平面DMN．

解答 （Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
∵AC⊥BC，PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，
∴BC⊥PC，
∵MN⊥PC，
∴BC∥MN，
∵D、E分別為AC、AB的中點，
∴DE∥BC，
∴DE∥MN，
∵DE?平面FMN，MN?平面FMN
∴DE∥平面FMN；
（Ⅱ）∵M是PC的中點，D、F分別為AC、AP的中點，
∴FM∥AC，MD∥PA，
∴FM⊥MD，
∵BC⊥平面PAC，BC∥MN，
∴MN⊥平面PAC，
∵FM?平面PAC，
∴FM⊥MN，
∵MD∩MN=M，
∴FM⊥平面DMN．
∵FM?平面FMN，
∴平面FMN⊥平面DMN．

點評 本題考查線面平行，線面垂直的判定與性質(zhì)，考查平面與平面垂直，正確運用判定定理是關(guān)鍵．