Question

17．過拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)F作直線l交拋物線C于A，B，若|AF|=3|BF|，則l的斜率是$±\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由拋物線方程求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線l的方程，和拋物線方程聯(lián)立，化為關(guān)于y的一元二次方程后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到A，B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的和與積，結(jié)合|AF|=3|BF|，轉(zhuǎn)化為關(guān)于直線斜率的方程求解．

解答 解：∵拋物線C方程為y²=4x，可得它的焦點(diǎn)為F（1，0），
∴設(shè)直線l方程為y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去x得$\frac{k}{4}{y}^{2}-y-k=0$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-4①．
∵|AF|=3|BF|，
∴y₁+3y₂=0，可得y₁=-3y₂，代入①得-2y₂=$\frac{4}{k}$，且-3y₂²=-4，
消去y₂得k²=3，解之得k=±$\sqrt{3}$．
故答案為：$±\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的簡單性質(zhì)，著重考查了舍而不求的解題思想方法，是中檔題．