Question

12．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為菱形，△PAD為正三角形，且E、F分別為AD、AB的中點(diǎn)，BE⊥平面PAD．
（1）求證：BC⊥平面PEB；
（2）求EF與平面PDC所成角的正弦值．
（3）求平面PEB與平面PDC所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）證明：AD⊥平面PEB，利用四邊形ABCD為菱形，可得AD∥BC，即可證明BC⊥平面PEB；
（2）以E為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，求出平面PDC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求EF與平面PDC所成角的正弦值；
（2）所求值即為平面PEB的法向量與平面PDC的法向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值．

解答 （1）證明：∵△PAD為正三角形，且E為AD的中點(diǎn)，∴PE⊥AD，
∵BE⊥平面PAD，∴BE⊥AD，
∵PE∩BE=E，∴AD⊥平面PEB，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD∥BC，∴BC⊥平面PEB；
（2）解：以E為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
不妨設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則AE=ED=1，
PA=2，PE=$\sqrt{3}$，BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
則點(diǎn)A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-2，$\sqrt{3}$，0），
D（-1，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），F(xiàn)（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{DC}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{DP}$=（1，0，$\sqrt{3}$）．
設(shè)平面PDC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DP}=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}y=0}\\{x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{m}$=（-$\sqrt{3}$，-1，1）．
又$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
∴EF與平面PDC所成角的正弦值為|$\frac{（-\sqrt{3}，-1，1）•（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，0）}{\sqrt{5}×1}$|=$\frac{\sqrt{15}}{5}$；
（3）解：顯然平面PEB的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（-1，0，0），
∵$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{（-\sqrt{3}，-1，1）•（-1，0，0）}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴平面PEB與平面PDC所成的銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及線面角及其度量，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．