Question

15．圓O中，弦$AB=2，AC=\sqrt{7}$，則$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$的值為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC交BC于點(diǎn)D，連接AD．則D為BC的中點(diǎn)，$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{BC}=0$．$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}）$．又$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DO}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，即可得出．

解答 解如圖所示，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC交BC于點(diǎn)D，連接AD．
則D為BC的中點(diǎn)，$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{BC}=0$．$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}）$．又$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DO}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$=$（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DO}）•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}）•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\frac{1}{2}（{\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{AB}}^{2}）$
=$\frac{1}{2}（（\sqrt{7}）^{2}-{2}^{2}）=\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形外心性質(zhì)、向量是三角形法則、平行四邊形法則、數(shù)量積運(yùn)算，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．