Question

17．若函數(shù)f（x）=（x-a）（x-b）．
（1）求函數(shù)f（x）的導函數(shù)．
（2）若a=1，b=-4，求垂直于直線2x-6y+1=0并且與曲線y=xf（x）+4x-5相切的直線方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的導數(shù)公式進行求解即可．
（2）求出函數(shù)f（x）的解析以及曲線的表達式，求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義進行求解即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的導函數(shù)f′（x）=（x-a）′（x-b）+（x-a）（x-b）′=x-b+x-a=2x-a-b．
（2）若a=1，b=-4，則f（x）=（x-1）（x+4）=x²+3x-4．
則曲線y=xf（x）+4x-5=x（x²+3x-4）+4x-5=x³+3x²-5，
∵直線垂直于直線2x-6y+1=0，
∴直線2x-6y+1=0的斜率k₁=$\frac{1}{3}$，則所求直線的斜率k=-3，
即f′（x）=-3，
∵y′=3x²+6x，
∴由3x²+6x=-3得x²+2x+1=（x+1）²=0，
即x=-1，
此時y=（-1）³+3×（-1）²-5=-1+3-5=-3，
即切點坐標為（-1，-3），
則對應的切線方程為y+3=-3（x+1），即y=-3x-6．

點評 本題主要考查導數(shù)的計算，以及切線的求解，根據(jù)導數(shù)的幾何意義是解決本題的關鍵．考查學生的計算能力．