Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=2a_n-3×2ⁿ+4（n∈N^*），求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式求出首項，進一步得到${a}_{n}=2{a}_{n-1}+3×{2}^{n-1}$，兩邊同時除以2ⁿ后可得，數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1為首項，以$\frac{3}{2}$為公比的等比數(shù)列，由此求得答案．

解答 解：當n=1時，由S_n=2a_n-3×2ⁿ+4，①
得a₁=S₁=2a₁-3×2+4，解得a₁=2；
當n≥2時，${S}_{n-1}=2{a}_{n-1}-3×{2}^{n-1}+4$，②
①-②得：${a}_{n}=2{a}_{n}-2{a}_{n-1}-3×{2}^{n}+3×{2}^{n-1}$（n≥2），
即${a}_{n}=2{a}_{n-1}+3×{2}^{n-1}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}=\frac{3}{2}$（n≥2），
則數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1為首項，以$\frac{3}{2}$為公比的等比數(shù)列，
則$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=（\frac{3}{2}）^{n-1}$，
∴${a}_{n}=2•{3}^{n-1}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關系的確定，訓練了等比數(shù)列通項公式的求法，是中檔題．