Question

12．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}+t}{{a}_{n}+1}$，則（　　）

• A． 當(dāng)t∈（0，1）時，{a_n}為遞減數(shù)列
• B． 當(dāng)t∈（0，1）時，{a_n}為遞增數(shù)列
• C． 當(dāng)t∈（1，+∞）時，{a_n}為遞減數(shù)列
• D． 當(dāng)t∈（1，+∞）時，{a_n}為遞增數(shù)列．

Answer 1

分析 由特征根法求出數(shù)列的通項公式得答案．

解答 解：由a_n+1=$\frac{{a}_{n}+t}{{a}_{n}+1}$，得$\frac{{a}_{n+1}-\sqrt{t}}{{a}_{n+1}+\sqrt{t}}=\frac{1-\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}}•\frac{{a}_{n}-\sqrt{t}}{{a}_{n}+\sqrt{t}}$，
即數(shù)列{$\frac{{a}_{n}-\sqrt{t}}{{a}_{n}+\sqrt{t}}$}是以$\frac{1-\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}}$為首項，以$\frac{1-\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}}$為公比的等比數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n}-\sqrt{t}}{{a}_{n}+\sqrt{t}}$=$（\frac{1-\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}}）^{n}$，
∴${a}_{n}=\frac{\sqrt{t}[1+（\frac{1-\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}}）^{n}]}{1-（\frac{1-\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}}）^{n}}$，
∴當(dāng)t∈∈（0，1）時，{a_n}為遞減數(shù)列．
故選：A．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．