Question

已知圓C：x²﹢y²+2x-3=0，直線l：x+y+t=0，若直線l與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=

14

．
（1）求直線l在x軸上的截距；
（2）已知點(diǎn)A（2，1），若直線l與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)直線MA的斜率為k_MA，直線MB的斜率為k_MB．問(wèn)是否存在使k_MA•k_MB=2？若存在，求出實(shí)數(shù)t的值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用,直線與圓相交的性質(zhì)

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）求出圓心到直線l：x+y+t=0的距離，利用勾股定理，建立方程，求出t，即可求直線l在x軸上的截距；
（2）圓C：x²﹢y²+2x-3=0，直線l：x+y+t=0，消去y可得2x²+（2t+2）x+t²-3=0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率公式，利用k_MA•k_MB=2，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）圓C：x²﹢y²+2x-3=0的圓心為（-1，0），半徑為2，
圓心到直線l：x+y+t=0的距離為

|-1+t|

2

，
∵|MN|=

14

，
∴4-（

|-1+t|

2

）²=

14

4

，
∴t=2或0，
∴直線l：x+y+t=0，為x+y+2=0或x+y=0，
令y=0，可得直線l在x軸上的截距為-2或0；
（2）設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），則
圓C：x²﹢y²+2x-3=0，直線l：x+y+t=0，消去y可得2x²+（2t+2）x+t²-3=0，
∴x₁+x₂=-（t+1），x₁x₂=

t2-3

2

，
∴y₁+y₂=-t+1，y₁y₂=

t2-2t-3

2

，
∵點(diǎn)A（2，1），
∴k_MA•k_MB=

y1-1

x1-2

•

y2-1

x2-2

=

y1y2-(y1+y2)+1

x1x2-2(x1+x2)+4

=

t2-2t-3 2 +t-1+1

t2-3 2 +2t+2+4

=2
∴t²+8t+21=0，
∴△=64-84=-20＜0，
∴不存在t，使k_MA•k_MB=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查斜率的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．