Question

16．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁=AC=2，AB=BC，D是BC₁上的點(diǎn)．且CD⊥平面ABC₁．
（1）求證：AB⊥平面BCC₁；
（2）求四棱錐C₁-ABB₁A₁的體積．

Answer 1

分析 （1）利用直三棱柱的性質(zhì)、線面垂直的判定和性質(zhì)定理即可證明；
（2）直接利用體積公式，求四棱錐C₁-ABB₁A₁的體積．

解答 （1）證明：∵CC₁⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴CC₁⊥AB．
又∵CD⊥平面ABC₁，且AB?平面ABC₁，∴CD⊥AB，
又CC₁∩CD=C，∴AB⊥平面BCC₁B₁．
（2）解：由（1），結(jié)合AC=2，AB=BC，
可得AB=BC=$\sqrt{2}$，
∴四棱錐C₁-ABB₁A₁的體積V=$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×2×\sqrt{2}$=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握直三棱柱的性質(zhì)、線面垂直的判定和性質(zhì)定理、棱錐的體積公式是解題的關(guān)鍵．