Question

7．已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點，$\overrightarrow{PB}$+2$\overrightarrow{PC}$+3$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{0}$，現(xiàn)將一粒黃豆隨機撒在△ABC內(nèi)，則黃豆在△PBC內(nèi)的概率是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 已知向量式變形可得$\overrightarrow{BP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$，由向量加法的平行四邊形法則可得P，由三角形的面積公式和幾何概型可得．

解答 解：由$\overrightarrow{PB}$+2$\overrightarrow{PC}$+3$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{0}$可得-$\overrightarrow{BP}$+2（$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BP}$）+3（$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BP}$）=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{BP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$，取D為AB中點，E為BC三等分點（靠近B），
以BD和BE為臨邊作平行四邊形，可得和B相對的四邊形頂點即為P，
設(shè)A到BC的距離為d，則P到BC的距離為$\frac{1}{2}$d，
故所求概率P=$\frac{{S}_{△PBC}}{{S}_{ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×BC×\frac{1}{2}d}{\frac{1}{2}×BC×d}$=$\frac{1}{2}$
故答案為：$\frac{1}{2}$

點評 本題考查幾何概型，涉及向量的知識和三角形的面積，屬基礎(chǔ)題．