Question

14．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-1（a∈R）
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性
（Ⅱ）求證：ln2•ln3•ln4•…•lnn＞$\frac{1}{n}$（n≥2，n∈N^*）

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）將a=1代入函數(shù)的表達(dá)式，求出函數(shù)f（x）的極小值，得到lnx＞1-$\frac{1}{x}$，分別令x=2，3，4，…，n，從而證出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
當(dāng)a＞0時(shí)，x∈（0，a），f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
x∈（a，+∞），f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
（Ⅱ）令a=1，則f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，（x＞0），
由（Ⅰ）得：f（x）_極小值=f（x）_min=f（1）=0，
則x∈[2，+∞）時(shí)，f（x）＞0，即lnx＞1-$\frac{1}{x}$，
令x=n，則lnn＞1-$\frac{1}{n}$=$\frac{n-1}{n}$，
∴l(xiāng)n2＞$\frac{1}{2}$，ln3＞$\frac{2}{3}$，ln4＞$\frac{3}{4}$，…，lnn＞$\frac{n-1}{n}$，
把以上n-1個(gè)式子相乘，則得到：
ln2•ln3•ln4…lnn＞$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{3}{4}$…$\frac{n-1}{n}$=$\frac{1}{n}$．

點(diǎn)評 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，（Ⅱ）問中得到lnx＞1-$\frac{1}{x}$是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．