Question

5．如圖，弧$\widehat{AEC}$是半徑為a的半圓，AC為直徑，點E為弧$\widehat{AC}$的中點，點B和點C為線段AD的三等分點，平面AEC外一點F滿足FB=FD=$\sqrt{5}$a，F(xiàn)E=$\sqrt{6}$a．
（Ⅰ）證明：EB⊥FD；
（Ⅱ）已知點R為線段FB上的點，且FR=λFB，求當(dāng)RD最短時，直線RE和平面BDE所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）欲證EB⊥FD，而FD?平面BFD，可先證BE⊥平面BFD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證BE與平面BFD內(nèi)兩相交直線垂直，而BE⊥AC，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知FC⊥BE，又FC、AC?平面BFD，F(xiàn)C∩AC=C，滿足定理所需條件；
（2）RD最短時，RD⊥FB，過R做RH⊥平面BDF，∠REH即為RE和平面BDE所成的角，求出$RH=\frac{4}{5}a，RE=\frac{3}{{\sqrt{5}}}a$，所以$sinREH=\frac{{4\sqrt{5}}}{15}$．

解答 （1）證明：∵點E為弧AC的中點
∴∠ABE=$\frac{π}{2}$，即BE⊥AC
又∵FC⊥平面BED，BE?平面BED
∴FC⊥BE
又∵FC、AC?平面BFD，F(xiàn)C∩AC=C
∴BE⊥平面BFD而FD?平面BFD
∴EB⊥FD；
（2）解：RD最短時，RD⊥FB，過R做RH⊥平面BDE，則∠REH即為RE和平面BDE所成的角，
∵$RH=\frac{4}{5}a，RE=\frac{3}{{\sqrt{5}}}a$，∴$sinREH=\frac{{4\sqrt{5}}}{15}$．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．