Question

10．已知函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），部分圖象如圖所示，PQ分別為圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，PR⊥x軸于R（$\frac{1}{2}$，0）點(diǎn)，∠RPQ=45°，|PQ|=2$\sqrt{2}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（m）=$\frac{3}{5}$，求sinmπ

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的圖象，求出函數(shù)的最值和周期即可求f（x）的解析式；
（2）利用條件，結(jié)合余弦函數(shù)的倍角公式將條件進(jìn)行化簡即可．

解答 解：（1）∵R（$\frac{1}{2}$，0）點(diǎn)，∠RPQ=45°，|PQ|=2$\sqrt{2}$．
∴|OP|=$\sqrt{2}$，|PR|=|AR|=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$，
即A=1，函數(shù)的周期T=4|OR|=4，
則T=$\frac{2π}{ω}$=4，則ω=$\frac{π}{2}$，
即f（x）=cos（$\frac{π}{2}$x+φ），
∵P（$\frac{1}{2}$，1），
∴f（$\frac{1}{2}$）=cos（$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{2}$+φ）=1，
則$\frac{π}{4}$+φ=kπ，
即φ=kπ-$\frac{π}{4}$，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴當(dāng)k=0時(shí)，φ=-$\frac{π}{4}$，則f（x）=cos（$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{4}$）．
（2）若f（m）=$\frac{3}{5}$，
則cos（$\frac{π}{2}$m-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，
即cos[$\frac{1}{2}$（mπ-$\frac{π}{2}$）]=$\frac{3}{5}$，
則sinmπ=cos（mπ-$\frac{π}{2}$）=2cos²[$\frac{1}{2}$（mπ-$\frac{π}{2}$）]-1=2×（$\frac{3}{5}$）²-1=-$\frac{7}{25}$．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解，根據(jù)條件求出A，ω和φ的值是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查三角函數(shù)的應(yīng)用．