Question

16．一個(gè)不透明的盒子中裝有4個(gè)完全相同的小球，球上分別編有數(shù)字1、2、3、4．
（1）若逐個(gè)不放回取球兩次，求第一次取到球的編號(hào)為偶數(shù)且兩個(gè)球的編號(hào)之和能被3整除的概率；
（2）若先從盒中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為a，將球放回盒中，然后再?gòu)暮兄须S機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為b．
①求使得函數(shù)f（x）=asinx+bcosx的最大值小于4的概率；
②求使得向量$\overrightarrow{m}$=（2a-6，2）與$\overrightarrow{n}$=（3-2b，-1）夾角為鈍角的概率．

Answer 1

分析 （1）從逐個(gè)不放回取球兩次，共有4×3=12種，第一次取到球的編號(hào)為偶數(shù)且兩個(gè)球的編號(hào)之和能被3整除的有（2，1），（2，4），（4，2）3種，根據(jù)概率公式計(jì)算即可；
（2）先從盒中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為a，將球放回盒中，然后再?gòu)暮兄须S機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為b．共有4×4=16種，
①其中函數(shù)f（x）=asinx+bcosx的最大值大于等于4的只有一種，根據(jù)概率公式計(jì)算即可；
②其中使得向量$\overrightarrow{m}$=（2a-6，2）與$\overrightarrow{n}$=（3-2b，-1）夾角為鈍角有10種，根據(jù)概率公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）從逐個(gè)不放回取球兩次，共有4×3=12種，分別為（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），（2，4），（4，2），（3，4），（4，3），第一次取到球的編號(hào)為偶數(shù)且兩個(gè)球的編號(hào)之和能被3整除的有（2，1），（2，4），（4，2）3種，
故第一次取到球的編號(hào)為偶數(shù)且兩個(gè)球的編號(hào)之和能被3整除的概率為$\frac{3}{12}$=$\frac{1}{4}$．
（2）先從盒中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為a，將球放回盒中，然后再?gòu)暮兄须S機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為b．共有4×4=16種，分別為（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），（2，4），（4，2），（3，4），（4，3），
①∵函數(shù)f（x）=asinx+bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x+θ），
∴函數(shù)f（x）=asinx+bcosx的最大值為$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，
∴$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$＜4，
即a²+b²＜16，因?yàn)橹挥?²+4²=16，其它均小于16，
故函數(shù)f（x）=asinx+bcosx的最大值小于4的概率P=1-$\frac{1}{16}$=$\frac{15}{16}$．
②∵向量$\overrightarrow{m}$=（2a-6，2）與$\overrightarrow{n}$=（3-2b，-1）夾角為鈍角，
∴（2a-6）（3-2b）+2×（-1）＜0，
即（a-3）（3-2b）＜2，
共有（1，1），（2，1），（3，1），（4，1），（2，2），（3，2），（4，2），（4，3），（4，4），（3，4）共10種，
故向量$\overrightarrow{m}$=（2a-6，2）與$\overrightarrow{n}$=（3-2b，-1）夾角為鈍角的概率為$\frac{10}{16}$=$\frac{5}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了古典概型的概率問(wèn)題，關(guān)鍵是列舉出所有滿足條件的基本事件，屬于中檔題．