Question

20．設(shè){a_n}為等差數(shù)列，S_n表示它的前n項和，已知對任何正整數(shù)n均有S_n=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{6}$+$\frac{3}{2}$n，求：
（1）數(shù)列{a_n}首項a₁；
（2）數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）通過在S_n=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{6}$+$\frac{3}{2}$n中令n=1，計算即得結(jié)論；
（2）通過S_n=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{6}$+$\frac{3}{2}$n與S_n-1=$\frac{{{a}_{n-1}}^{2}}{6}$+$\frac{3}{2}$（n-1）（n≥2）作差，進(jìn)而計算可得數(shù)列{a_n}是首項、公差均為3的等差數(shù)列，計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{6}$+$\frac{3}{2}$n，
∴a₁=S₁=$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{6}$+$\frac{3}{2}$，
整理得：${{a}_{1}}^{2}$-6a₁+9=0，解得：a₁=3；
（2）∵S_n=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{6}$+$\frac{3}{2}$n，
∴S_n-1=$\frac{{{a}_{n-1}}^{2}}{6}$+$\frac{3}{2}$（n-1）（n≥2），
兩式相減得：a_n=$\frac{{{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}}{6}$+$\frac{3}{2}$，
整理得：$（{a}_{n}-3）^{2}$=${{a}_{n-1}}^{2}$，
∴a_n=a_n-1+3，或a_n+a_n-1=3（舍），
∴數(shù)列{a_n}是首項、公差均為3的等差數(shù)列，
于是其通項公式a_n=3n．

點評 本題考查數(shù)列的通項，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．