Question

11．三棱錐P-ABC中，△ABC和△PBC是等邊三角形，側(cè)面PBC⊥面ABC，AB=2$\sqrt{3}$，則三棱錐外接球表面積是（　　）

• A． 18π
• B． 19π
• C． 20π
• D． 21π

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，求出△ABC外接圓半徑為R，作出球心，求解直角三角形得到球的半徑，代入表面積公式得答案．

解答 解：如圖，AB=$2\sqrt{3}$，設(shè)△ABC外接圓半徑為R，則$\frac{{2\sqrt{3}}}{{sin{{60}°}}}=2R=4$，
∴R=2，
再設(shè)O為外接圓圓心，O′是外接球球心，
則OO′⊥面ABC，作PM∥OO′，作O′E∥OM，交PM于E，
則E為PM的三等分點(diǎn)，
∵PM=3，
∴OO′=EM=1，
在Rt△OO′A中，OA=2，OO′=1，
∴OA′=$\sqrt{5}$，
∴三棱錐外接球表面積是S=20π．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球內(nèi)接多面體，考查了球的表面積的求法，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．