Question

1．已知a＞1，x≥1，y≥1，且log_a²x+log_a²y=log_a（a⁴x⁴）+log_a（a⁴y⁴），則log_a（xy）的取值范圍是[$2\sqrt{3}-2$，$4+4\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 根據對數的基本運算進行化簡，利用換元法轉化為三角函數，利用三角函數的有界限求解．

解答 解：由題意：log_a²x+log_a²y=log_a（a⁴x⁴）+log_a（a⁴y⁴），
化簡可得：log_a²x-4log_ax+log_a²y-4log_ay=8
令m=log_ax，n=log_ay，則有：∵n²+m²-4m-4n=8．
log_a（xy）=n+m．
∵a＞1，x≥1，y≥1，
∴n≥0，m≥0，
∵n²+m²-4m-4n=8．
⇒（n-2）²+（m-2）²=4²表示為（2，2）為圓心，半徑為4的圓．
令m+n=Z，（Z≥0），則n+m-Z=0．
數形結合法：如圖：當直線m+n-Z=0過B點或A點時最�。�
當直線m+n-Z=0過C點時最大．
可知：A（2$\sqrt{3}-2$，0）
故得Z_min=2$\sqrt{3}-2$，即為log_a（xy）_min=$2\sqrt{3}-2$．
過C點時，直線與圓相切，d=r=4=$\frac{|4-Z|}{\sqrt{2}}$
解得：Z_max=$4+4\sqrt{2}$，即為log_a（xy）_max=$4+4\sqrt{2}$．
所以：log_a（xy）的取值范圍是[$2\sqrt{3}-2$，$4+4\sqrt{2}$]．
故答案為：[$2\sqrt{3}-2$，$4+4\sqrt{2}$]．

點評 本題考查了對數的化簡計算和圓與直線的位置關系．屬于中檔題．