Question

1．a(chǎn)∈R，設(shè)函數(shù)f（x）=（-x²+ax）e^-x，x∈R．
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）若x∈（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）=（-x²-2x）e^-x，則f′（x）=（x²-2）e^-x，解f′（x）＜0，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）若x∈（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞減，則x∈（-1，1）時(shí)，f′（x）=[x²-（a+2）x+a]e^-x＜0恒成立，即x²-（a+2）x+a＜0恒成立，進(jìn)而得到答案．

解答 解：（1）當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）=（-x²-2x）e^-x，
則f′（x）=（x²-2）e^-x，
令f′（x）＜0得，x∈（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
故函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）；
（2）∵函數(shù)f（x）=（-x²+ax）e^-x，
∴f′（x）=[x²-（a+2）x+a]e^-x，
若x∈（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞減，
則x∈（-1，1）時(shí)，x²-（a+2）x+a＜0恒成立，
令g（x）=x²-（a+2）x+a，
則g（1）=-1，
故g（-1）≤0，
即1+a+2+a≤0，
解得：a∈（-∞，$-\frac{3}{2}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化思想，恒成立問題，難度中檔．