Question

3．已知等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=8，公比為q（q≠1），S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（1）若S₃，2S₄，3S₅成等差數(shù)列，求{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）令b_n=log₂a_n，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，若T₃是數(shù)列{T_n}中的唯一最大項(xiàng)，求的q的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意知S₃+3S₅=2•2S₄，從而可得$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}$=$\frac{1}{3}$，從而求得a_n=8•$\frac{1}{{3}^{n-1}}$=$\frac{8}{{3}^{n-1}}$；
（2）化簡(jiǎn)b_n=log₂a_n=3-log₂q+nlog₂q，從而由等差數(shù)列的性質(zhì)可得b₃＞0，b₄＜0，從而解得．

解答 解：（1）∵S₃，2S₄，3S₅成等差數(shù)列，
∴S₃+3S₅=2•2S₄，
∴3（a₄+a₅）=4a₄，
∴$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}$=$\frac{1}{3}$，
故等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為8，公比為$\frac{1}{3}$，
故a_n=8•$\frac{1}{{3}^{n-1}}$=$\frac{8}{{3}^{n-1}}$；
（2）b_n=log₂a_n=log₂（8•q^n-1）=3-log₂q+nlog₂q，
∵T₃是數(shù)列{T_n}中的唯一最大項(xiàng)，
∴b₃=3-log₂q+3log₂q＞0，b₄=3-log₂q+4log₂q＜0，
∴-$\frac{3}{2}$＜log₂q＜-1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{4}$＜q＜$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了方程思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．