Question

10．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知向量$\overrightarrow{a}$=（-1，2），又點A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t）．（1）若 $\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{a}$，且|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{5}$|$\overrightarrow{OA}$|，求向量 $\overrightarrow{OB}$；
（2）若向量 $\overrightarrow{AC}$與向量 $\overrightarrow{a}$共線，常數(shù)k＞0，求f（θ）=tsinθ的值域；
（3）當（2）問中f（θ）的最大值4時，求 $\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$．

Answer 1

分析 （1）利用向量垂直的坐標表示及向量模的坐標表示，列出關(guān)于n，t的方程組，并解即可．
（2）向量$\overrightarrow{AC}$與向量$\overrightarrow a$共線，得出f（θ）=tsinθ=（-2ksinθ+16）sinθ，利用配方法結(jié)合一元二次函數(shù)的最值性質(zhì)進行求解．
（3）根據(jù)（2）問中f（θ）的最大值4時，建立方程關(guān)系求出k或θ，求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$即可．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}=（n-8，t）$，∵$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow a$，
∴8-n+2t=0
又$|{\overrightarrow{AB}}|=\sqrt{5}|{\overrightarrow{OA}}|$，∴（n-8）²+t²=5×64得t=±8，
∴$\overrightarrow{OB}=（24，8）$或（-8，-8）
（2）$\overrightarrow{AC}=（ksinθ-8，t）$，
∵向量$\overrightarrow{AC}$與向量$\overrightarrow a$共線，
∴t=-2ksinθ+16，f（θ）=tsinθ=（-2ksinθ+16）sinθ=$-2k{（sinθ-\frac{4}{k}）^2}+\frac{32}{k}$
①$當k＞4時，0＜\frac{4}{k}＜1$，∴$sinθ=\frac{4}{k}$時，f（θ）=tsinθ取最大值為$\frac{32}{k}$，
sinθ=-1時，f（θ）取得最小值為-2k-16，
此時函數(shù)的值域為[-2k-16，$\frac{32}{k}$]
②$當0＜k＜4時，\frac{4}{k}＞1$，
∴sinθ=1時，tsinθ取最大值為-2k+16，
sinθ=-1時，f（θ）取得最小值為-2k-16，
此時函數(shù)的值域為[-2k-16，-2k+16]．
（3）①當k＞4時，由$\frac{32}{k}$=4，得k=8，此時$θ=\frac{π}{6}$，$\overrightarrow{OC}=（4，8）$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}=（8，0）•（4，8）=32$
②當0＜k＜4時，由-2k+16=4，得k=6，（舍去）
綜上所述，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}=32$．

點評 本題考查向量共線、垂直的坐標表示、向量的模的計算．函數(shù)最值求解，分類討論、計算等思想方法和能力．