已知是橢圓和雙曲線的公共頂
點(diǎn)。是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn),是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)(、都異于、),且滿足,其中,設(shè)直線、、、的斜率 分別記為, ,則
-5
解析試題分析:∵A,B是橢圓和雙曲線的公共頂點(diǎn),
∴(不妨設(shè))A(-a,0),B(a,0).
設(shè)P(x1,y1),M(x2,y2),∵,其中λ∈R,
∴(x1+a,y1)+(x1-a,y1)=λ[(x2+a,y2)+(x2-a,y2)],化為x1y2=x2y1.
∵P、M都異于A、B,∴y1≠0,y2≠0.∴.
由k1+k2==5,化為(*)
又∵=1,∴,代入(*)化為.
k3+k4=,又=1,
∴,
∴k3+k4=-=-5.
故答案為-5.
考點(diǎn):橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì),平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,直線的斜率及其坐標(biāo)運(yùn)算。
點(diǎn)評(píng):難題,熟練掌握點(diǎn)在曲線上的意義、雙曲線和橢圓的方程、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、斜率的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵,同時(shí)本題計(jì)算能力要求較高。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
已知雙曲線的左頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離為
4,且雙曲線的一條漸近線與拋物線準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為,則雙曲線的焦距為 .
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已知點(diǎn)與點(diǎn)在直線的兩側(cè),則下列說(shuō)法:
(1);
(2)時(shí),有最小值,無(wú)最大值;
(3)恒成立
(4),, 則的取值范圍為(-
其中正確的是 (把你認(rèn)為所有正確的命題的序號(hào)都填上).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
如圖,已知雙曲線C1:,曲線C2:|y|=|x|+1,P是平面內(nèi)一點(diǎn),若存在過(guò)點(diǎn)P的直線與C1,C2都有公共點(diǎn),則稱P為“C1﹣C2型點(diǎn)“
(1)在正確證明C1的左焦點(diǎn)是“C1﹣C2型點(diǎn)“時(shí),要使用一條過(guò)該焦點(diǎn)的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗(yàn)證);
(2)設(shè)直線y=kx與C2有公共點(diǎn),求證|k|>1,進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1﹣C2型點(diǎn)”;
(3)求證:圓x2+y2=內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1﹣C2型點(diǎn)”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
已知雙曲線與拋物線有一個(gè)公共的焦點(diǎn),且雙曲線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最短距離為1,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是___________。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
下列說(shuō)法中,正確的有 .
①若點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn),則該點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離是;
②設(shè)、為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn),,則的面積為;
③設(shè)定圓上有一動(dòng)點(diǎn),圓內(nèi)一定點(diǎn),的垂直平分線與半徑的交點(diǎn)為點(diǎn),則的軌跡為一橢圓;
④設(shè)拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),則、、成等差數(shù)列.
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