Question

11．三棱錐A-BCD中，E是BC的中點(diǎn)，且BD=8，CD=6，BC=10，AB=AD=4$\sqrt{2}$．
（1）求證：AE⊥BD；
（2）若二面角A-BD-C的余弦值為$\frac{3}{4}$，求AD與平面BCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）取BD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，AF，由勾股定理和中位線定理可得BD⊥EF，由AB=AD可得AF⊥BD，于是BD⊥平面AEF，從而BD⊥AE；
（2）計(jì)算AF，EF，由余弦定理計(jì)算AE，從而可得AE⊥EF，結(jié)合AE⊥BD可得AE⊥平面BCD，故而∠ADE為所求角，于是tan∠ADE=$\frac{AE}{DE}$．

解答 （1）證明：取BD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，AF，
∵AD=AB，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，∴AF⊥BD，
∵CD=6，BD=8，BC=10，
∴CD²+BD²=BC²，∴CD⊥BD，
∵E，F(xiàn)分別是BC，BD的中點(diǎn)，
∴EF∥CD，
∴BD⊥EF，又AF∩EF=F，
∴BD⊥平面AEF，
∵AE?平面AEF，
∴AE⊥BD．
（2）解：由（1）可知BD⊥AF，BD⊥EF，
∴∠AFE為二面角A-BD-C的平面角，即cos∠AFE=$\frac{3}{4}$，
∵EF=$\frac{1}{2}$CD=3，AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=4，
∴AE=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}-2AF•EF•cos∠AFE}$=$\sqrt{7}$，
∴AE²+EF²=AF²，∴AE⊥EF，
又AE⊥BD，BD∩EF=F，
∴AE⊥平面BCD，
∴∠ADE為AD與平面BCD所成的角，
又△BCD是直角三角形，∴DE=$\frac{1}{2}$BC=5，
∴tan∠ADE=$\frac{AE}{DE}$=$\frac{\sqrt{7}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，空間角的計(jì)算，屬于中檔題．