Question

若數(shù)列的各項均為正數(shù)，，為常數(shù)，且.

（1）求的值；

（2）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；

（3）若，對任意給定的k∈N*，是否存在p，r∈N*(k<p<r)使，，成等差數(shù)列？若存在，用k分別表示一組p和r；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）2（2）詳見解析（3）當(dāng)k＝1時，不存在p，r；當(dāng)k≥2時，存在一組p＝2k－1，r＝k(2k－1)滿足題意．

【解析】

試題分析：（1）令，得①，令，得②，①—②，得 ， ，（2）證明數(shù)列為等差數(shù)列，一般利用定義進(jìn)行證明，由（1）推導(dǎo)過程知：， ，兩式相減得 數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，，數(shù)列為等差數(shù)列（3）先求數(shù)列通項公式：由（2）知，數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，則由條件，得，又?jǐn)?shù)列的各項為正數(shù)，，，

若存在p，r使，，成等差數(shù)列，則所以；當(dāng)k＝1時，，舍去；當(dāng)k≥2時，令p＝2k－1得r＝kp＝k(2k－1)，滿足k<p<r．

試題解析：【解析】
（1）由條件，設(shè)

令，得①，令，得 ②

①—②，得 ， ，

4分

（2）， ，

兩式相減得 7分

數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，

， 數(shù)列為等差數(shù)列. 10分

（3）由（2）知，數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，

則由條件，得

，又?jǐn)?shù)列的各項為正數(shù)，

，，. 12分

當(dāng)k＝1時，若存在p，r使，，成等差數(shù)列，則

與矛盾．因此，當(dāng)k＝1時，不存在． 14分

當(dāng)k≥2時，則所以

令p＝2k－1得r＝kp＝k(2k－1)，滿足k<p<r．

綜上所述，當(dāng)k＝1時，不存在p，r；

當(dāng)k≥2時，存在一組p＝2k－1，r＝k(2k－1)滿足題意． 16分

考點(diǎn)：等差數(shù)列