Question

數(shù)列{a_n}的前n項和是S_n，且S_n+

1

2

an=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=log₃

a 2 n

4

，數(shù)列{

1

bn•bn+2

}的前n項和為T_n，若不等式T_n＜m，對任意的正整數(shù)n恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由Sn+1+

1

2

an+1=1，Sn+

1

2

an=1，相減可得an+1=

1

3

an，再利用等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）利用對數(shù)的運算性質(zhì)、“裂項求和”即可得出．

解答： 解：（1）由Sn+1+

1

2

an+1=1①
Sn+

1

2

an=1②
①-②可得an+1+

1

2

an+1-

1

2

an=0，
∴an+1=

1

3

an，
當n=1時 S1+

1

2

a1=1，則a1=

2

3

，
∴數(shù)列{a_n}是以

2

3

為首項，

1

3

為公比的等比數(shù)列，
因此an=a1•qn-1=

2

3

•(

1

3

)n-1=

2

3n

．
（2）bn=log3

a 2 n

4

=log33-2n=-2n，
∴

1

bn•bn+2

=

1

2n•2(n+2)

=

1

4

•

1

n(n+2)

=

1

8

(

1

n

-

1

n+2

)，Tn=

1

8

(

1

1

-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

)=

1

8

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜

3

16

．
∵不等式T_n＜m，對任意的正整數(shù)n恒成立，
∴m≥

3

16

．

點評：本題考查了等比數(shù)列的定義及其通項公式、對數(shù)的運算性質(zhì)、“裂項求和”方法、恒成立問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．