Question

5．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n+1
（1）求證：sin$\frac{π}{a_n}≥\frac{2}{a_n}$；
（2）設(shè)數(shù)列$\left\{{sin\frac{π}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項(xiàng)和為S_n，求證：$\frac{1}{3}＜{S_n}＜\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)$f（x）=sinx-\frac{2}{π}x$，則f′（x）=cosx-$\frac{2}{π}$x，結(jié)合函數(shù)y=cosx的單調(diào)性，即可證明，即$sinx≥\frac{2}{π}x$．令$x=\frac{π}{a_n}$，顯然$x=\frac{π}{a_n}∈[{0，\frac{π}{2}}]$，即可得出．
（2）由于a_na_n+1≥6，可得$\frac{π}{{{a_n}{a_{n+1}}}}∈（{0，\frac{π}{2}}）$，由（1）知$sin\frac{π}{{{a_n}{a_{n+1}}}}＞\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 證明：（1）設(shè)$f（x）=sinx-\frac{2}{π}x$，則f′（x）=cosx-$\frac{2}{π}$x，
結(jié)合函數(shù)y=cosx的單調(diào)性，知$?{x_0}∈（{0，\frac{π}{2}}）$，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，x₀）上遞增，在$（{{x_0}，\frac{π}{2}}）$上遞減，又$f（0）=f（{\frac{π}{2}}）=0$，
因此在$[{0，\frac{π}{2}}]$上，恒有f（x）≥0，即$sinx≥\frac{2}{π}x$．
令$x=\frac{π}{a_n}$，顯然$x=\frac{π}{a_n}∈[{0，\frac{π}{2}}]$，故$sin\frac{π}{a_n}≥\frac{2}{a_n}$．
（2）∵a_na_n+1≥6，∴$\frac{π}{{{a_n}{a_{n+1}}}}∈（{0，\frac{π}{2}}）$，
由（1）知$sin\frac{π}{{{a_n}{a_{n+1}}}}＞\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，
∴${S_n}＞2（{\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{{（{n+1}）（n+2）}}}）$，
=$2（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）=2（{\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}}）＞\frac{1}{3}$．
設(shè)$g（x）=sinx-x（0＜x＜\frac{π}{2}）$，則g′（x）=cosx-1＜0，∴函數(shù)g（x）在$（{0，\frac{π}{2}}）$單調(diào)遞減．
∴g（x）＜g（0）=0，即當(dāng)$x∈（{0，\frac{π}{2}}）時(shí)，恒有sinx＜x$．
∴${S_n}＜π（{\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{{（{n+1}）（{n+2}）}}}）=π（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）$
=$π（{\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}}）＜\frac{π}{2}$．
∴$\frac{1}{3}＜{S_n}＜\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、“裂項(xiàng)求和”方法、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．