Question

8．若不等式$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$+$\frac{λ}{c-a}$＜0，當(dāng)a＞b＞c時(shí)成立，則λ的取值范圍是（4，+∞）．

Answer 1

分析 由題意可得$\frac{λ}{a-c}$＞$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$，即 λ＞（a-c）（$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$）成立．由基本不等式可得右邊的最小值等于4，故λ＞4．

解答 解：a＞b＞c，即有a-b＞0，b-c＞0，a-c＞0，
不等式$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$+$\frac{λ}{c-a}$＜0，
即為$\frac{λ}{a-c}$＞$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$，
即λ＞（a-c）（$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$）成立．
把a(bǔ)-c=a-b+b-c，代入上式可得，
[（a-b）+（b-c）}（$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$）=2+$\frac{b-c}{a-b}$+$\frac{a-b}{b-c}$≥2+2$\sqrt{\frac{b-c}{a-b}•\frac{a-b}{b-c}}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)a-b=b-c時(shí)，取得最小值4．
則λ＞4，
故答案為：（4，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，函數(shù)的成立問(wèn)題，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．