Question

16．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-2，6），傾斜角α=$\frac{π}{4}$，圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=2cosθ．
（Ⅰ）寫(xiě)出直線l的參數(shù)方程，并把圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)圓C上的點(diǎn)A到直線l的距離最小，點(diǎn)B到直線l的距離最大，求點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)之積．

Answer 1

分析 （I）由題意可得直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=6+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=2cosθ即ρ²=2ρcosθ，利用ρ²=x²+y²，x=ρcosθ即可化為直角坐標(biāo)方程．
（II）經(jīng)過(guò)圓心（1，0）且與直線l垂直的直線方程為：y=-（x-1），即直線AB的方程．與圓的方程聯(lián)立化為：2x²-4x+1=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答 解：（I）由題意可得直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=6+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=2cosθ即ρ²=2ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²=2x，配方為（x-1）²+y²=1．
（II）經(jīng)過(guò)圓心（1，0）且與直線l垂直的直線方程為：y=-（x-1），即直線AB的方程．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，化為：2x²-4x+1=0．
∴x₁x₂=$\frac{1}{2}$．
∴點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)之積為x₁x₂=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、直線與圓相交、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．