Question

5．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，右焦點(diǎn)為F（3，0）．N為直線x=4上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F做直線FN的垂線l，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）證明：O，M，N三點(diǎn)共線；
（Ⅲ）若2|OM|=|MN|，求l的方程．

Answer 1

分析 （I）由橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，右焦點(diǎn)為F（3，0），及a²=b²+c²，求得a²，b²，即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)N（4，m），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），得到直線AB的方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合三點(diǎn)共線的方法：斜率相等，即可得證；
（Ⅲ）由（Ⅱ）中M和N的坐標(biāo)，結(jié)合O，M，N三點(diǎn)共線，且2|OM|=|MN|列式求得m值，則直線l的方程可求．

解答 （I）解：∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，右焦點(diǎn)為F（3，0），
∴c=3，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴a=$2\sqrt{3}$，b=$\sqrt{3}$．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）證明：設(shè)N（4，m），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
AB的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），k_NF=m，
由F（3，0），可設(shè)直線AB的方程為x=-my+3，
代入橢圓方程可得（m²+4）y²-6my-3=0，
∴y₁+y₂=$\frac{6m}{{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{3}{{m}^{2}+4}$，于是M（$\frac{12}{{m}^{2}+4}，\frac{3m}{{m}^{2}+4}$），
則直線OM的斜率k_OM=$\frac{\frac{3m}{{m}^{2}+4}}{\frac{12}{{m}^{2}+4}}=\frac{m}{4}$，
又k_ON=$\frac{m}{4}$，
∴k_OM=k_ON，
∴O，N，N三點(diǎn)共線；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，M（$\frac{12}{{m}^{2}+4}，\frac{3m}{{m}^{2}+4}$），
N（4，m），且O，M，N三點(diǎn)共線；
又2|OM|=|MN|，
則2$•\frac{12}{{m}^{2}+4}$=$4-\frac{12}{{m}^{2}+4}$，解得：m=$±\sqrt{5}$．
∴l(xiāng)的方程為$x=±\sqrt{5}y+3$，即$x±\sqrt{5}y-3=0$．

點(diǎn)評(píng) 本題考橢圓方程的求法，考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題．