Question

5．已知函數(shù)f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0且a≠1）．
（1）求證：函數(shù)f（x）的圖象總在y軸的一側(cè)；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）由a^x-1＞0得：a^x＞1，a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象在y軸的右側(cè)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＜0，函數(shù)f（x）的圖象在y軸的左側(cè)．所以函數(shù)f（x）的圖象在y軸的一側(cè)．
（2）結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對(duì)a進(jìn)行分類討論，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

解答 證明：（1）由a^x-1＞0得：a^x＞1，
∴當(dāng)a＞1時(shí)，x＞0，即函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
此時(shí)函數(shù)f（x）的圖象在y軸的右側(cè)；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＜0，即函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0），
此時(shí)函數(shù)f（x）的圖象在y軸的左側(cè)．
∴函數(shù)f（x）的圖象在y軸的一側(cè)；
（2）令t=a^x-1，則y=log_at，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0），
此時(shí)t=a^x-1為減函數(shù)，y=log_at為減函數(shù)，
故函數(shù)f（x）=log_a（a^x-1）在（-∞，0）上為增函數(shù)；
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
此時(shí)t=a^x-1為增函數(shù)，y=log_at為增函數(shù)，
故函數(shù)f（x）=log_a（a^x-1）在（0，+∞）上為增函數(shù)；

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意分類討論思想的合理應(yīng)用．