Question

17．設(shè)a＞b＞0，則a²+$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{a（a-b）}$的最小值是4．

Answer 1

分析 變形可得a²+$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{a（a-b）}$=ab+$\frac{1}{ab}$+a（a-b）+$\frac{1}{a（a-b）}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵a＞b＞0，∴a-b＞0，
∴a²+$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{a（a-b）}$=a²-ab+ab+$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{a（a-b）}$
=ab+$\frac{1}{ab}$+a（a-b）+$\frac{1}{a（a-b）}$
≥2$\sqrt{ab•\frac{1}{ab}}$+2$\sqrt{a（a-b）•\frac{1}{a（a-b）}}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)ab=$\frac{1}{ab}$且a（a-b）=$\frac{1}{a（a-b）}$即a=$\sqrt{2}$且b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時取等號．
故答案為：4．

點評 本題考查基本不等式求最值，添項并變形為可用基本不等式的形式是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．